Продолжительность пути и параметры сетевой модели

Практическое занятие №2 Параметры сетевой модели

1. Установление полного перечня работ, которые необходимо выполнить при планировании комплекса работ.

2. Составление топологии сети — четкой последовательности и взаимосвязей всех работ и построение сетевого графика.

3. Оценка продолжительности выполнения отдельных работ.

4. Расчет параметров сетевого графика.

5. Анализ и оптимизация сетевого графика.

6. Управление ходом работ по сетевому графику.

2. Параметры сетевой модели

В системах СПУ применяются различные типы сетевых моделей, отличающиеся составом информации о комплексе работ.

Встречаются модели с детерминированной и вероятностной структурой сети, с детерминированными и вероятностными оценками продолжительности работ сети. При выборе модели руководителю проекта приходится принимать компромиссное решение: с одной стороны, сетевая модель должна быть простой, а с другой – адекватной объекту.

Широкое применение получила сетевая модель ПДВ (простейшая детерминированная временная), которая характеризуется следующими тремя моментами:

а) имеется сеть с единственным исходным и единственным завершающим событием;

б) продолжительности всех работ t_ijизвестны, однозначно определены (вспомните из математики: детерминант – определитель) и указаны на графике (обычно в днях, в зарубежной практике – чаще в неделях);

в) задан момент начала выполнения комплекса Т₀,а также задается (но не обязательно) директивный срокТ_дир наступления завершающего события.

Рассмотрим временные параметры этой модели.

По известным продолжительностям работ легко определить продолжительность каждого пути – t(L).Продолжительность любого пути равна сумме продолжительностей работ, его составляющих:

(1)

Для пояснения обратимся к рис.1. На графике над стрелками указаны продолжительности работ в днях (напомним, что продолжительность фиктивной работы равна нулю).

Найдем на графике полные пути и определим их продолжительность (по номерам событий):

L₁ 1 – 2 – 5 – 7 – 8 t(L₁) = 14 дн.

L₂ 1 – 2 – 4 – 5 – 7 – 8 t(L₂) = 12 дн.

L₃ 1 – 3 – 4 – 5 – 7 – 8 t(L₃) = 13 дн.

L₄ 1 – 3 – 6 – 7 – 8 t(L₄) = 16 дн.

Всегда найдется путь, имеющий наибольшую продолжительность, он называется критическим–L_кр. Его продолжительность получила особое обозначение:

t(L_кр)=Т_кр .

Понятие критического пути является центральным понятием в системе СПУ. Значение L_кр, во-первых, состоит в том, что он является самым длинным путем в сети и, таким образом, является единственным путем, который определяет полную продолжительность процесса. Поэтому, если мы хотимопределитьполную продолжительность процесса, нужно определитьТ_кр, а определять для этой цели все остальныеt(L) не имеет смысла. Во-вторых, если мы хотимсократитьпродолжительность процесса, нужно прежде всего сокращать продолжительность работ, принадлежащихL_кр. Таким образом, логика сетевого планирования приводит нас к необходимости находить в сетях критические пути и определять их продолжительность.

На графике рис. 1 путь L₄имеет наибольшую продолжительность, равную 16 дням, и потому является критическим. Обычно критический путь на графиках выделяется (цветными, двойными, жирными и т.п. стрелками).

Обратим внимание, что в сети может быть несколько критических путей (с точки зрения использования ресурсов – чем больше критических путей в графике, тем лучше).

Обычно к L_кр принадлежит 10-15 % работ. Чем сложнее сеть, тем таких работ меньше (считается, что в сети средней сложности количество работ в 1,7 раза превышает количество событий).

Другие полные пути рассматриваемого сетевого графика могут либо полностью проходить вне критического пути (L₁иL₂), либо частично с ним совпадать (L₃). Эти пути называютсяненапряженными: на участках, не совпадающих с критической последовательностью работ, они имеют резервы времени. Задержка в наступлении событий, лежащих на этих участках, до определенного момента не влияет на срок завершения всего комплекса.

Из ненапряженных путей наибольшее внимание привлекают наименее напряженные и подкритические. Подкритические путиимеют продолжительность, близкую кТ_кр(отличаются отТ_крна определенную величину, устанавливаемую руководителем проекта). Эти пути могут стать критическими в результате задержки выполнения их работ или в результате сокращения продолжительности работ, лежащих на критическом пути, и, следовательно, являются потенциально опасными с точки зрения соблюдения сроков завершения проекта.

Например, при увеличении времени выполнения работы 2-5 (рис. 1) на 2 дня это приведет к тому, что t(L₁) = 16 дн. =Т_кр. ТогдаL₁тоже станет критическим и будет определять срок выполнения всего комплекса.

Наименее напряженные пути могут рассматриваться с точки зрения возможности использования ресурсов (рабочей силы, оборудования, денежных средств). Возможное удлинение этих путей, вызванное переброской ресурсов, до определенных пределов не опасно для сроков проекта.

Работы, принадлежащие критическому и подкритическим путям, составляют критическую зонукомплекса (15-20 % всех работ).

Зная продолжительность всех работ, можно также определить сроки наступления всех событий сети. Для каждого события определяют ранний и поздний сроки его наступления.

Ранний срок наступления события– это минимальный из возможных моментов его наступления, когда будут выполнены все работы, предшествующие данному событию. Он определяется максимальной из продолжительностей всех путей, предшествующих данному событию:

(2)

где — путь, предшествующий данному событиюi;

— максимальный из этих путей.

Поясним это на примере рис. 1. Событию 5 предшествуют три пути: 1-2-5 с продолжительностью 7 дн., 1-2-4-5 с продолжительностью 5 дн. и 1-3-4-5 с продолжительностью 6 дн. Событие 5 не может наступить ранее 7 дней, т.к. только в течение этого периода будут выполнены все предшествующие ему работы 2-4, 3-4 и 2-5.

Легко увидеть, что для события 3 ранний срок его наступления = 4 дн., т.к. ему предшествует только один путь 1-2, состоящий из одной работы.

Поздний срок наступления события— это максимальный из допустимых моментов его наступления, при котором еще не изменяется общий срок выполнения всего комплекса. Поздний срок определяется разностью междуТ_кри наибольшей из продолжительностей путей, следующих за событиемi:

(3)

где — путь, следующий за событиемi;

— максимальный из этих путей.

Продолжим рассмотрение рис. 1. За событием 5 следует только один путь 5-7-8 продолжительностью 7 дней. Следовательно,

= 16 – 7 = 9 дн.

За событием 3 следуют два пути: 3-4-5-7-8 с продолжительностью 9 дн. и 3-6-7-8 с продолжительностью 12 дн. Следовательно, = 16 – 12 = 4 дн., т.е. событие 3 не может наступить позже 4 дней от начала работ, иначе это скажется на изменении срока всего комплекса.

Так как по определению критического пути

, (4)

то для всех событий, принадлежащих критическому пути, справедливо равенство:

(5)

В справедливости этого мы уже убедились из рассмотренного примера для события 3. Оно лежит на критическом пути, поэтому

== 4 дн.

Зная сроки наступления событий, можно для каждой работы сети определить сроки ее начала и окончания, выявив тем самым возможности смещения сроков. Применительно к каждой работе рассматриваются четыре срока:

• ранний срок начала работы ; (6)
• ранний срок окончания работы ; (7)
• поздний срок начала работы ; (8)
• поздний срок окончания работы . (9)

С учетом равенства (5) для событий, лежащих на критическом пути, можно сделать вывод, что у работ критического пути ранние и поздние сроки начала или окончания совпадают: ₍₁₀₎ Следующим важным параметром является резерв времени – применительно к пути, событию и работе. Критический путь является самым продолжительным в сети. Разность между продолжительностью критического пути Т_кри продолжительностью любого другого путиt(L)называется резервом времени путиLи обозначается: (11) Чем короче путь L, чем больше он по времени не совпадает с критическим, тем у него больше резерв времени. Физический смысл этого параметра таков:резерв времени пути показывает, на сколько в сумме могут быть увеличены продолжительности работ, принадлежащих путиL, чтобы при этом не изменился общий срок выполнения всего комплекса работ. Так, L₁(см. рис. 1) не совпадает с критическим на участке сети между 1 и 7 событиями. Его продолжительность, как было показано выше, составляет 14 дней, и, следовательно, резерв равен двум дням. Только двумя днями располагают руководители всех трех работ при непредвиденной задержке в их выполнении. Все события, не лежащие на критическом пути, обладают резервом времени, который определяется как разность между поздним и ранним сроками его наступления: . (12) Резерв времени событияпоказывает, на какой предельно допустимый срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ. При большей задержке критический путь переместится на максимальный из путей, проходящих через данное событиеi. Так, для события 5 (рис.1) = 9 – 7 = 2 дн. При задержке этого события на 2 и более дней критический путь переместится на максимальный путьL₁ , проходящий через событие 5. События, лежащие на критическом пути, имеют нулевой резерв времени, в том числе исходное и завершающее события. Для работ сетевой модели определяются два резерва времени: полный и свободный. Полный резерв времени работы — это резерв максимального из путей, проходящих через работуi,j, (13) где — поздний срок наступления конечного события этой работы; — ранний срок наступления начального события этой работы; — продолжительность выполнения работы. Физический смысл этого параметра таков: этот резерв показывает, на сколько можно задержать начало или увеличить продолжительность отдельной работы, не изменяя директивного (или раннего, если директивный не задан) срока наступления завершающего события. В последнем случае (если директивный срок не задан) – не изменяя Т_кр. Обратим внимание на следующий важный момент: полный резерв принадлежит не одной работе, а всем путям, которые проходят через данную работу. Поэтому использование его полностью на одной из работ пути L аннулирует полные резервы временивсех работ, принадлежащих этому пути. Например, = 2дн. (см. рис.1), т.к. он определяется резервом путиL₁. Если использовать его полностью на работе 5-7, то другие работы этого пути (1-2, 2-5) останутся без резервов времени. Полные резервы времени принимают минимальное значение у работ, лежащих на критическом пути. Это свойство является необходимым и достаточным условием принадлежности работы критическому пути и используется для его нахождения при расчете сети. Минимальное значение полного резерва равно нулю, если Т_дирне задан или превышает момент начала работТ₀на величинуТ_кр . В общем случае оно равно разности (Т_кр—Т_дир). Свободный резерв времени работыпредставляет собой максимальное время, на которое можно задержать начало или увеличить продолжительность работыi,j при условии, что все события сети наступают в свои ранние сроки: . (14) Свободный резерв образуется не у всех работ, а только у работ, непосредственно принадлежащих событиям, через которые проходят пути с различной продолжительностью. Это надо понимать так: если событию предшествует одна работа (например, работа 1-2 на рис.1), то для нее свободный резерв равен нулю по определению (= 0), в других случаях –0. Свободный резерв является частью полного, и потому чаще на практике применяется другая формула: , (15) где – резерв конечного события работыi,j. Свободный резерв показывает, какая часть полного резерва времени работы может быть использована для увеличения ее продолжительности при условии, что это не вызовет изменения раннего сроканаступления ее конечного события. Свободный резерв является независимым резервом, т.е. использование его на одной из работ не изменяет величины свободных резервов времени остальных работ сети. Используя свободный резерв времени, ответственный исполнитель может маневрировать в его пределах временем начала данной работы, ее окончания или ее продолжительностью, не затрагивая интересов других руководителей работ.

Источник